Tetszőleges alapú exponenciális függvényre: Így bármely exponenciális függvény deriváltja egy konstans szorozva a függvénnyel. Ha a változó növekedésének vagy csökkenésének üteme arányos a méretével, akkor a változót egy állandó az idő exponenciális függvényének szorzataként írható fel. Erre példa a korlátozás nélküli népességnövekedés (lásd Malthus-féle katasztrófa) vagy a radioaktivitás csökkenése. Ezen kívül bármely differenciálható f ( x) függvényre alkalmazható a láncszabály:. Formális definíció [ szerkesztés] Az exponenciális függvényt igen sokféleképpen lehet definiálni végtelen sorokkal, például a következő hatványfüggvénysorral: vagy az alábbi határértékkel: Itt n! jelöli az n faktoriálist, x pedig bármely valós szám, komplex szám vagy a Banach-algebra eleme (például egy négyzetes mátrix) lehet. Ezeknek a definícióknak részletes magyarázatára lásd: Angol Wikipedia szócikke. Numerikus értékek [ szerkesztés] Az exponenciális függvény értékének kiszámításához az alábbiak szerint érdemes átírni a végtelen sort: A fenti kifejezés az exponenciális,, függvény Maclaurin-sora, a maradéktag pedig: = (0 < θ < 1).
Wallpaper
Legyen a függvényünk:, b) A változó bármely valós értékéhez rendeljük hozzá a nála 3-mal nagyobb szám négyzetét:, Ezek képei az ábrán láthatók.
Kapcsolat:
Az exponenciális függvény az egyik legfontosabb függvény a matematikában. Szokásos jelölése e x vagy exp( x), ahol e egy matematikai állandó, a természetes alapú logaritmus alapja, értéke körülbelül 2, 718281828, és Euler-féle számnak is szokták hívni. Alapvető jelentőséggel bír mind a matematika elméletében, mind a mérnöki, pénzügyi, közgazdaságtani stb. alkalmazásokban. Általában az exponenciális függvény fogalmát általánosabban használják és kiterjesztik az összes ka x alakú függvényre, ahol az a szám az alap, amely bármely pozitív valós szám lehet az egy kivételével (tehát a∈ R + \{1}), de határozott névelővel ellátva (" az exponenciális függvény") mindig az e alapú exponenciális függvényt jelenti (e szócikk is utóbbit tárgyalja először). Az exponenciális függvény görbéje, x=0-nál értéke 1, y értéke minden pontban egyenlő a görbe meredekségével. A görbe nem érinti a vízszintes tengelyt. Valós x változóra az y = e x függvény görbéje mindig pozitív (az x tengely fölött helyezkedik el) és növekvő (balról jobbra nézve).
Monotonitás Csökkenő függvény grafikonja Ha az f függvény értelmezési tartományában egy intervallum bármely x 1 < x 2 értékeinél a függvényértékekre f ( x 1) > f ( x 2) áll fenn, akkor azon az intervallumon a függvény csökkenő. Az ábrán azt látjuk, hogy az f függvénynek az [ a; b] intervallumon megvan ez a tulajdonsága, ezért az f függvény az [ a; b]-on csökken. Szokásos kifejezéssel azt mondjuk: "az f függvény az [ a; b]-on monoton csökkenő ". (Monoton = egyhangú, változatosság nélküli. ) Ha az f függvény értelmezési tartományában egy intervallum bármely x 1 < x 2 értékeinél a függvényértékekre f ( x 1) < f ( x 2) áll fenn, akkor azon az intervallumon a függvény növekvő. Az ábrán azt látjuk, hogy az f függvénynek a [ b; c] intervallumon megvan ez a tulajdonsága, ezért "az f függvény a [ b; c]-on monoton növekvő ". Részletesebb függvényvizsgálatnál további fogalmakat is bevezethetünk. Beszélhetünk nemcsökkenő, nemnövekvő függvényekről is. Például a konstansfüggvény egyszerre nemcsökkenő és nemnövekvő.
Az 1/x függvény ábrázolása | mateking
- 1 per x függvény
- 1/x függvény képe
- Story4 tv műsor 5 napra
Konstansal növelt függvényérték és -változó Először tekintsük a függvényérték transzformációit: 1. A függvényértékekhez egy konstanst adunk. Az f függvény x -hez tartozó f ( x) helyettesítési értéke helyett f ( x) + c lesz a függvényértékünk. Ekkor a grafikon minden pontja az y tengellyel párhuzamosan c egységgel eltolódik. Más megfogalmazásban: A függvényértékek f ( x) + c transzformációja az alapfüggvény grafikus képének egy vektorral történő eltolását eredményezi. (Ezt láttuk az ábrákon. ) Tekintsük a változó transzformációit: 2. A változóhoz egy konstanst adunk. A függvény x -hez tartozó helyettesítési értéke f ( x + c) lesz (az eredeti f ( x) helyett). Ha az f ( x + c) formulába x helyére ( x - c)-t helyettesítünk, akkor az x - c + c = x miatt azt a függvényértéket kapjuk, amely az alapfüggvénynek az x helyen vett helyettesítési értéke. Tehát a függvénykép minden egyes pontja az x tengellyel párhuzamosan eltolódik, ha 0 < c, akkor balra, ha 0 > c, akkor jobbra. Kiindulásunk legyen a legegyszerűbb másodfokú függvény:, Változtassuk meg ezt a hozzárendelési szabályt: a) Adjunk az függvény minden függvényértékéhez egy konstans számot.
Itt röviden és szuper-érthetően meséljük el neked, hogy, hogyan kell függvényeket ábrázolni. Függvények, koordináták, Értelmezési tartomány, Értékkészlet, Transzformációk, Külső és belső függvény transzformációk, x tengelyre tükrözés, y tengelyre tükrözés, néhány fontosabb függvény, mindez a középiskolás matek ismétlése.
65872126504 A pontos érték 1. 6487212707... Források [ szerkesztés] Lázár Zsolt, Lázár József, Járai-Szabó Ferenc: Numerikus módszerek, Kolozsvári Egyetemi Kiadó, 2008 Kapcsolódó szócikkek [ szerkesztés] Logaritmus
Megjegyzendő, hogy a fenti egyenlet teljesül a = e -re is, mivel Az exponenciális függvény néhány tulajdonsága: Ezek az azonosságok igazak minden pozitív valós a és b számra és minden valós x és y -ra. A törtet és gyökvonást tartalmazó kifejezések egyszerűbbé tehetők az exponenciális jelölés bevezetésével: és minden a > 0, valós számra b valós számra és n > 1 egész számra: Deriválás és differenciálegyenletek [ szerkesztés] Az exponenciális függvény fontossága a matematikában és egyéb tudományokban a deriváltjának tulajdonságai révén jelentkezik. Nevezetesen: Vagyis az deriváltja saját maga. Pontosan a alakú függvények ( c konstans) azok, amelyeknek megvan ez a tulajdonsága. Ez más szóval azt jelenti, hogy: A görbe meredeksége minden pontban megegyezik a függvény értékével abban a pontban. A növekedés mértéke x értéknél a függvény értékével egyenlő az x értéknél. A függvény kielégíti az differenciálegyenletet. Igen sok differenciálegyenlet eredményez exponenciális függvényt, többek között a Schrödinger-egyenlet és a Laplace-egyenlet, valamint az egyszerű harmonikus rezgés.
Az első kifejezés gyorsan konvergál, ha x kisebb egynél. Ennek biztosítás érdekében felhasználható az alábbi azonosság: ahol az -nek az egész része, az -nek a tört része, így mindig kisebb, mint 1 és hozzáadható -hez. Az e z konstans pedig úgy számítható ki, hogy e-t önmagával szorozzuk z-szer, ha, vagy - et szorozzuk önmagával z-szer, ha z < 0. Mivel f < 1, a sorozat gyorsan konvergál és a maradéktag. A tagok rekurrenciás kapcsolata:,. Az exponenciális függvényt számító algoritmus: 1 function TaylorExp ( in: x, ε out: T) 2 u ← 1 3 n ← 0 4 T ← 1 5 repeat 6 u ← u *( x / n + 1) 7 T ← T + u 8 n ← n + 1 9 until | u | < ε 10 return T 11 end function Példa: Alkalmazásként határozzuk meg -t hibán belül. Ez esetben x = 1/2 tehát a rekurrenciás képlet:,, k=(1, 2,... ) u n T n 0 1 0. 5 1. 5 2 0. 125 1. 625 3 0. 0208333333333 1. 64583333333 4 0. 00260416666667 1. 6484375 5 0. 000260416666667 1. 64849791667 6 2. 17013888889e-05 1. 64871961806 7 1. 55009920635e-06 1. 64872116815 8 9. 68812003968e-08 1.